Como encontrar pares de inteiros (não-negativos e maiores do que zero), tais que a^2 + b^2 = 2020^2?
Este tópico trouxe várias respostas criativas.
Resposta: são 4 pares (a,b) tais que a^2+b^2 = 2020^2:
400 e 1980
868 e 1824
1212 e 1616
1344 e 1508
Seguem 4 resoluções, partindo da mais fácil para a mais elegante.
O Arthur Bratti (de Santa Catarina) fez um tabelão, com as linhas e colunas variando de 1 a 2020, fez as contas para todas as alternativas, e ficou somente com as que davam 2020^2 = 4.080.400. Infelizmente, o excel ficou grande demais para enviar por e-mail. Como usa somente fórmulas de Excel, a lógica é bem simples.
O print abaixo é uma ilustração do método.
Em VBA dá para fazer um loop for dentro de outro. Se for igual a 2020^2, guardo a solução, senão, vou para a próxima.
For i = 1 To 2019
For j = i + 1 To 2019
If i ^ 2 + j ^ 2 = 2020 ^ 2 Then
c = c + 1
sol(c, 1) = i
sol(c, 2) = j
End If
Next
Next
Python é a linguagem padrão em análise de dados (vide comentário aqui:
A solução mais elegante de todas for enviada pelo grande Marcos Melo. Utiliza matemática, ao invés de computação. Transcrevo aqui suas palavras.
A fórmula que engloba todos os números Pitagóricos é:
A= k*(X^2-Y^2)
B=k*(2*X*Y)
C= k*(X^2+Y^2)
Onde X e Y são primos entre si.
Como 2020 é 1*2*2*5*101
A chave é encontrar os resultados de hipotenusa X^2+Y^2=5: =101 e =505;
A hipotenusa 5 é do bem conhecido triângulo 3, 4 e 5 resultado do par X=2 e Y=1; multiplicado por 404 será de hipotenusa 2020.
(ou seja, resultado 1212 e 1616).
A hipotenusa 101 é do 20, 99 e 101 resultado do par X=10 e Y=1; multiplicado por 20 será de hipotenusa 2020.
(ou seja, o par 400 e 1980).
A hipotenusa 505 tem dois: o formado por X=21 e Y=8 e o X=19 e Y=12, que resultam nos triângulos 336, 377 e 505; e 217, 456.e 505; ambos multiplicados por 4 serão de hipotenusa 2020;
(ou seja, os dois pares faltantes: 868 e 1824; 1344 e 1508).
São 60 números possíveis, e uma aposta tem 6 números. A fórmula é combinação(60,6). Isto dá uma chance em 50 milhões.
Com mais apostas, melhor a probabilidade.
Na loteria, é possível marcar mais números na mesma cartela.
Digamos, com 7 dezenas assinaladas, há o equivalente à Combinação(7,6) apostas = 7 apostas. É como se eu preenchesse 7 cartelas individuais e as submetessem, e multiplico a minha chance de ganhar por 7 (e também o custo de jogar).
Segue planilha para download aqui, para quem quiser mexer.
Entrando nas formulinhas, para quem gosta.
Da análise combinatória:
Combinação(n,p) = n! / (p! * (n-p)!)
Onde ! denota a função fatorial.
O Excel tem as funções combinação e fatorial pré-definidas, porém, é mais divertido reescrevê-las:
Function fact(n)
If n = 1 Then
fact = 1
Else
fact = n * fact(n – 1)
End If
End Function
Esta é uma função recursiva, bastante poderosa. Porém, ela esbarra no limite do tipo double.
Ex. calcular fatorial(60) ele aguenta: 8,2*10^81.
Porém, calcular fatorial(2020) o VBA não aguenta:
O Python é melhor que o VBA para números grandes. Isto porque, no Python, o programa vai armazenando o número na quantidade de bytes necessária, até o limite da memória do computador.
def fator(n):
if n == 1:
return(1)
else:
return(n*fator(n-1))
print(“Fatorial “, fator(2020))
A função combinatória é só aplicar a fórmula, utilizando a função fatorial definida acima.
O Excel tem uma função interessante para gerenciar cenários.
Digamos que eu tenha um preço inicial, e quero testar três cenários de inflação: pessimista, normal e otimista.
Fica em Dados -> Teste de Hipóteses -> Gerenciador de Cenários…
Clicar em adicionar cenário.
Vai pedir o nome do cenário, as células variáveis e comentários.
A seguir, ele vai pedir o valor da célula variável para este cenário:
Repetir a operação para os demais cenários.
Para mostrar o cenário, escolher o mesmo e clicar em Mostrar.
É comum o usuário se perder, num cálculo longo de um Excel complexo – digamos, fazer orçamento.A técnica mostrada pode ser útil para gerenciar cenários assim
Como é época de Natal, a seguir um código para desenhar uma estrela só utilizando segmentos de reta e geometria, para alegrar as festas.
Imagine duas retas perpendiculares.
Cada reta recebe N divisões.
Agora, uma o primeiro ponto do eixo X ao ponto logo acima do meio do eixo Y, o segundo ponto do eixo X ao próximo ponto acima do eixo Y, e repita até o fim.
O comando VBA para adicionar uma linha é, basicamente:
ActiveSheet.Shapes.AddLine(x0, y0, x1, y1)
E tem outros comandos para colorir, informar a espessura e controlar. Mas, basicamente, o único comando especial é esse de criar retas.
O resultado não impressiona muito. Porém, se aumentarmos o número de pontos, fica mais divertido.
Com 10 pontos:
Com 20 pontos:
Com 35 pontos:
Não sei exatamente o nome desta curva, porém, a técnica é muito conhecida na matemática.
No último fórum da Informs (a mais importante associação americana de Operations Research), em Chicago, citaram Pythons umas 6 vezes, Excel também umas 6 vezes, Java uma vez (de um fornecedor que disse que estava mudando para Python), R nenhuma mênção.
Isto mostra a força do Python como a língua franca do Analytics da atualidade.
O pessoal que citou Excel o fez metade das vezes para falar mal, outra metade para dizer que o usuário final utiliza. Isto mostra a resiliência do Excel, que apesar de todas as críticas, continua firme e forte nas grandes corporações – por seu poder e facilidade de uso. Há até uma piada que diz: “Todo o sistema financeiro mundial é baseado em Excel”.
Um último comentário: no final das contas, não interessa muito a linguagem, e sim ter uma base teórica forte e capacidade de execução. Linguagens e ferramentas vêm e vão. Até hoje tem gente utilizando Fortran muito bem, por exemplo.
