O método da exaustão para encontrar a área do círculo

O método da exaustão foi desenvolvido nos tempos de Eudoxo e Arquimedes. Este post visa mostrar a ideia geral do método. Os gregos antigos tinham uma noção bastante forte de geometria, e por isso, é bastante lúdico entender o raciocínio.

Como calcular a área de um círculo, ou de alguma outra forma complicada? Uma resposta é aproximar por algo mais simples, como um triângulo ou um quadrado.

O maior quadrado possível que cabe dentro de um círculo é o quadrado inscrito.

O menor quadrado possível em que o círculo cabe dentro é o quadrado circunscrito.

Assumindo que o raio é igual a 1, para facilitar, a área do círculo vai estar entre 2 e 3,31 (demonstração nos capítulos seguintes abaixo).

Mas o quadrado é muito diferente do círculo. Não dá para melhorar?

Que tal utilizar um pentágono?

A aproximação melhorou um pouco, entre 2,38 e 3,25 (hoje sabemos que…

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Como criar um quadrado mágico de qualquer tamanho

Quadrados mágicos são números arranjados numa grade, de tal forma que a soma das linhas, colunas e diagonais seja igual.

A questão de como criar diversos tipos de quadrados mágicos vem intrigado os matemáticos há séculos.

Magic Squares - history of chinese math squares as in book "The ...

Veremos neste tutorial, como criar um quadrado mágico de qualquer tamanho. Implementação em VBA e em Python disponível no Github.

Há três casos diferentes:

– quadrados mágicos ímpares,

– do tipo 4*n

– do tipo 4*n+2

Para cada caso, há um algoritmo diferente.


Caso 1: Quadrados mágicos ímpares

São os que têm número de lado ímpar (3, 5, 7, etc).

Começar colocando o 1 na célula superior do meio. Andar uma casa para a esquerda e uma para cima, para colocar o próximo número. Como o tabuleiro acaba, é como se ele desse a volta e colocasse o número no canto inferior.

Ir repetindo o passo acima, do número 2 para o 3.

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O jogo da vida – de John Conway

Forgotten Math

O matemático John Conway faleceu na semana passada, vítima do Corona vírus.

https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/conheca-john-conway-o-matematico-que-criou-o-jogo-da-vida/

Ele foi o criador do “Jogo da Vida”, o primeiro exemplo de autômato celular. É bastante interessante e lúdico.

Em homenagem a Conway, é mais ou menos simples fazer uma versão em Excel.

Imagine um tabuleiro, com pontos aleatórios.

O jogo faz a seguinte análise:

  1. Qualquer célula viva com menos de dois vizinhos vivos morre de solidão.
  2. Qualquer célula viva com mais de três vizinhos vivos morre de superpopulação.
  3. Qualquer célula morta com exatamente três vizinhos vivos se torna uma célula viva.
  4. Qualquer célula viva com dois ou três vizinhos vivos continua no mesmo estado para a próxima geração.

Rodando várias iterações, começam a surgir alguns padrões.

O código gera uma matriz aleatória de 0 e 1. Cola na planilha.

Pinta de verde e branco, com formatação condicional.

A seguir, aplica as regras do jogo da vida.

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Quadraturas do retângulo

Aqui, uma macro que lida com o problema da “quadratura do retângulo”.

Dado um retângulo, digamos de tamanho 11 x 10, como eu
decomponho a mesma no menor número de quadrados menores?

A macro utiliza um algoritmo recursivo. Basicamente, esta vai testando todas as combinações possíveis em duas dimensões, até chegar ao final, e compara o número de quadrados gerados. É o chamado método da força-bruta.

Mesmo incluindo alguns truques, como eliminando quem tem
mais quadrados que o mínimo até então, o algoritmo continua sendo força bruta –
ou seja, demora muito quando aumenta o tamanho do problema.

Outro exemplo, um retângulo 13 x 11.

Uma utilidade possível é encaixar produtos em pallets, ou
conjugar cargas em carregamentos, utilizando métodos adaptados.

Há um problema similar, porém com uma restrição muito mais forte: todos os quadrados menores devem ter tamanho diferente.

Esta restrição é tão forte que a maioria dos retângulos…

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Artigo sobre torre de controle

Publiquei um artigo na revista Mundo Logística deste mês, sobre a nossa Central de Monitoramento Logístico, com o apoio do time do projeto.

Foi
um mega projeto que envolveu criar toda a infraestrutura de comunicação
(torres e repetidoras), o software de gerenciamento de eventos e a
inteligência matemática para distribuição dos veículos.

Estamos à disposição para compartilhar ideias a respeito.

https://revistamundologistica.com.br.

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O jogo do sapo

Implementação em Excel – VBA do “Jogo do Sapo”.

Link para download.

Faça os três sapos da esquerda trocarem de posição com os da esquerda.

Clique no sapo para movimentá-lo. Ex. Cliquei no terceiro sapo, e ele avança uma casa se esta estiver livre, e duas se a segunda estiver livre (pulando quem estiver na frente).

É necessário ativar macros para rodar o jogo.

Em termos de VBA, o truque é mais ou menos simples.

Em linhas gerais, cada sapo é uma imagem, com um nome diferente.

Podemos selecionar o sapo desejado adaptando o comando abaixo:

    ActiveSheet.Shapes.Range(Array(“Sapo1”)).Select

Uma vez selecionado, podemos posicioná-lo com as propriedades Top e Left (equivalente ao eixo y e x).

    Selection.Top = y0

    Selection.Left = x0 + (i – 1) * delta

Segue Código em anexo para quem quiser estudá-lo.

Objetivo: Trocar os sapos de posição.

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Alguns recursos para aprofundar em Data Science

A ciência de dados vai se tornar cada vez mais importante no dia-a-dia profissional.

A grade universitária em geral encontra-se no século passado. Não dá para comparar com a quantidade e velocidade de transformação. Felizmente, há diversas opções on-line surgindo.

Algumas recomendações, para desenvolvimento profissional.

A EDX (https://www.edx.org/) oferece vários cursos introdutórios, a preços bastante acessíveis.

Stanford e MIT têm versões on-line de aulas em geral: https://www.stanford.edu/ http://web.mit.edu/

A Kaggle (https://www.kaggle.com/) oferece diversos desafios de data science. Há um ranking com o desempenho, e os melhores trabalhos ganham uma premiação.

Num nível mais hard, a Udacity tem nanodegrees (pagos e caros), num nível bem alto, sobre temas como carros autônomos, por exemplo.

O MIT professional é mais caro ainda, esse ainda não testei.

e O INFORMS tem uma certificação em Analytics, o CAP (https://www.certifiedanalytics.org/). É, no mínimo, um guia para estudos e uma prova para testar os conhecimentos. No BR…

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Colar vínculo e cortar para demarcar forma

Esta técnica pode ser útil para criar dashboards no Excel. É possível copiar um range de células e colar como vínculo – se mudar algo na fonte, a imagem irá atualizar de modo equivalente.

Digamos que quero vincular o range abaixo.

Iniciamos copiando (CTRL+C) a região.

Em Colar -> Colar vínculo da imagem, teremos uma cópia em imagem da região afetada. Só uma imagem retangular é comum demais. Podemos fazer algo mais sofisticado.

Em Formatar -> Cortar -> Cortar para demarcar forma, é possível mudar a forma da imagem. Desse modo, podemos ter uma imagem vinculada à fonte com um formato de shape que ajude a ilustrar as nossas ideias. Vide anexo.


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Representação visual da sequência de Fibonacci

Forgotten Math

A sequência de Fibonacci há tempos fascina os matemáticos, por ter uma regra de formação simples, porém com diversas propriedades surpreendentes.

Esta sequência começa com 1 e 1. Os demais números são a soma dos dois anteriores. Portanto, os próximos números são:

2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
e assim sucessivamente.

Há uma forma bonita de visualizar esta sequência.
Iniciando com um quadrado de lado 1, coloque outro quadrado idêntico do seu lado.

Como o próximo número é a soma desses dois.

E assim sucessivamente.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc…

Com 10 quadrados:

Criei dois programinhas para plotar esta visualização.

Uma em Javascript D3, que é uma biblioteca fantástica para a parte gráfica. Vide projeto interativo no Github, aqui: https://asgunzi.github.io/Fibonacci/

E outra em Excel – VBA, disponível para download aqui. Print…

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Macro para atualizar a base de dados da tabela dinâmica

Como atualizar a fonte de dados de uma tabela dinâmica, para que ela leia certinho o número de linhas da fonte?

Uma forma simples de contornar o problema é colocar um range grande para a entrada da tabela dinâmica, digamos 500 mil linhas, e não ter que se preocupar com isto.  A desvantagem é que isto obriga o Excel a ler tais linhas, mesmo que vazias, aumentando o peso do arquivo.

Outra forma proposta é via macro, download aqui um exemplo.

Primeiro, lê quantas linhas têm na coluna A da Planilha 1 e joga na variável “nl”

Sheets(“Plan1”).Activate

‘Lê quantas linhas tem na coluna a, limitado a 100000 linhas

nl = Application.WorksheetFunction.CountA(Range(“a1:a100000”))

Depois atualiza a fonte de dados.

Há uma série de parâmetros aqui, o nome da tabela dinâmica, o range de dados. Uma forma fácil de obter esses parâmetros é gravando uma macro que atualiza a tabela, e depois apenas modificar o campo “SourceData”.

‘Preencher com o nome da tabela dinamica

‘É necessário também mudar a fonte de dados

‘No caso, “Plan1!R1C1:R” & nl & “C3”, está lendo da linha 1 coluna 1 (R1C1) até a linha nl coluna 3

ActiveSheet.PivotTables(“Tabela dinâmica1″).ChangePivotCache ActiveWorkbook.PivotCaches.Create(SourceType:=xlDatabase, SourceData:=”Plan1!R1C1:R” & nl & “C3”,   Version:=xlPivotTableVersion15)


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